罗尔中值定理（罗尔中值定理的证明）

本篇文章给大家谈谈罗尔中值定理，罗尔罗以及罗尔中值定理的中值中值证明对应的知识点，希望对各位有所帮助，定理定理的证不要忘了收藏本站喔。罗尔罗

什么是罗尔中值定理?

罗尔（Rolle）中值定理 如果函数f(x)满足：①在[a,b]上连续,②在(a,b)内可导,③f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0.

罗尔中值定理怎么理解？

1.罗尔定理的定义

以法国数学家米歇尔·罗尔命名的罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）是微分学中一条重要的定理，是定理定理的证三大微分中值定理之一，叙述如下：如果函数 f(x)满足

（1）在闭区间 [a,罗尔罗b]上连续；

（2）在开区间 (a,b)内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b)，中值中值

那么在 (a,定理定理的证b)内至少有一点ε （aεb）

使得

2.几何理解

下面是几何图解罗尔定理。函数y=f(x)在 [a,罗尔罗b]上连续，(a,中值中值b)内可导，并且f(a)=f(b)，定理定理的证那么f(x)曲线至少存在一点，罗尔罗其斜率为0.（下图显示有2个点斜率为0）

3.通俗解释

你站在地上，中值中值垂直向天空抛出一小球，定理定理的证小球又落在地上，那么在小球运动过程中，一定有一个时刻t，在t时刻速度是0.(在这个t时刻之前，速度是向上的，过了这个时刻t，速度向下，而在这个t，就是物体运动的最高点，速度是0）

高等数学之罗尔中值定理（看不懂，题来凑）

定理：如果函数 y = f(x)满足下列条件:

（1）在闭区间 [a,b] 上连续;（啥叫连续你要是不知道就去百度，百度还不知道你看我文章呗）

（2）在开区间（a,b）内可导;（可导你要是不知道，我giao）

（3）f（a） =   f  (b),

则在开区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得  f ' (ξ)=0

上个图：

例1：函数f（x）= 在区间  [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?

解：闭区间连续f（0）=f（2）

开区间可导 f '（x）= ，  得x=1，即ξ=1

例2：函数f（x）= 在区间[0,3]上满足罗尔定理，则ξ=？

解：闭区间连续 f（0）=f（3）

开区间f'（x）= =0

得x=2,  即ξ=2

（1）构造辅助函数

-------将 ξ 换为 x

-------移项，使等式的一端为0

-------找出非零端的原函数f（x）

（2）验证罗尔定理的三个条件

（3）由罗尔定理得结论

设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,   f（1）=2    证明在（0,1）内至少存在一点 ξ使得  f'（ ξ）=2 ξ + 1

证明：

[1]构造辅助函数

（1）f'（x）=2x+1（将 ξ 换为 x）

（2）f'（x）-2x+1=0（移项，使等式的一端为0）

（3） （找出非零端的原函数f（x））

令

[2]验证罗尔中值定理的三个条件

因为f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;

所以F（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;

原函数 ：

 F（0）=f（0）-0-0=0;    （看到这里要是看蒙了，你就看看原题   f（0）  和f（1）的条件）

F（1）=f（1）-1-1=2-1-1=0；

所以F（0）=F（1）

[3]由罗尔中值定理可知：

至少存在一个 ξ∈(0，1)，使得 f'(ξ)=0。

即     f'（ ξ）-2 ξ + 1     f'（ ξ）=2 ξ + 1

设函数f（x）在闭区间[2，4]上连续，在开区间（2,4）内可导，且f（2）=1,   f（4）=4    证明∃ξ（2,4），使得   '(ξ)=

证明：

[1]构造辅助函数

（1）f'（x）=

          x f '（x）=2 f（x）（将 ξ 换为 x）

（2）x f '（x）-2 f（x）=0（移项，使等式的一端为0）

（3）F（x）= （找出非零端的原函数f（x））

[2]验证罗尔中值定理的三个条件（三个条件看最上面）

因为f（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;

所以F（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;

原函数 ：

  （看到这里要是看蒙了，你就看看原题   f（2）  和f（4）的条件）

=

所以F（2）=F（4）

[3]由罗尔中值定理可知：

∃ξ（2,4），使得  f'(ξ)=0 

（这里还有，不知道什么情况，公式输出不了了，结果很简单，你不会的话，评论我再添上）

罗尔中值定理的结论有哪些直接的几何意义？

罗尔定理的三个条件：

1、f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

2、f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；

3、f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

扩展资料：

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一罗尔定理，是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。

罗尔在代数学方面做过许多工作，曾经积极采用简明的数学符号如“=”、“ˇ√￣”等撰写数学著作；研究并掌握了与现代一致的实数集的序的观念以及方程的消元方法；提出所谓的级联法则来分离代数方程的根。

参考资料来源：人民网——2015考研数学重要知识点总结

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